3.505 \(\int \frac{\coth ^3(e+f x)}{(a+b \sinh ^2(e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=143 \[ \frac{2 a-5 b}{2 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{(2 a-5 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{7/2} f}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \]

[Out]

-((2*a - 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) + (2*a - 5*b)/(6*a^2*f*(a + b*Sinh[e
+ f*x]^2)^(3/2)) - Csch[e + f*x]^2/(2*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a - 5*b)/(2*a^3*f*Sqrt[a + b*Si
nh[e + f*x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.152358, antiderivative size = 143, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3194, 78, 51, 63, 208} \[ \frac{2 a-5 b}{2 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{(2 a-5 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{7/2} f}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

-((2*a - 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) + (2*a - 5*b)/(6*a^2*f*(a + b*Sinh[e
+ f*x]^2)^(3/2)) - Csch[e + f*x]^2/(2*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a - 5*b)/(2*a^3*f*Sqrt[a + b*Si
nh[e + f*x]^2])

Rule 3194

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Dist[ff^((m + 1)/2)/(2*f), Subst[Int[(x^((m - 1)/2)*(a + b*ff*x)^p)/(1 - ff*x)^((
m + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 78

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f
)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1)
+ c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ
[p, n]))))

Rule 51

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1
))/((b*c - a*d)*(m + 1)), x] - Dist[(d*(m + n + 2))/((b*c - a*d)*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth ^3(e+f x)}{\left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+x}{x^2 (a+b x)^{5/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{2 f}\\ &=-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{(2 a-5 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (a+b x)^{5/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 a f}\\ &=\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{(2 a-5 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 a^2 f}\\ &=\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{2 a-5 b}{2 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{(2 a-5 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 a^3 f}\\ &=\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{2 a-5 b}{2 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}+\frac{(2 a-5 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}\right )}{2 a^3 b f}\\ &=-\frac{(2 a-5 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{2 a^{7/2} f}+\frac{2 a-5 b}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{\text{csch}^2(e+f x)}{2 a f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{2 a-5 b}{2 a^3 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.30026, size = 69, normalized size = 0.48 \[ -\frac{(5 b-2 a) \, _2F_1\left (-\frac{3}{2},1;-\frac{1}{2};\frac{b \sinh ^2(e+f x)}{a}+1\right )+3 a \text{csch}^2(e+f x)}{6 a^2 f \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

-(3*a*Csch[e + f*x]^2 + (-2*a + 5*b)*Hypergeometric2F1[-3/2, 1, -1/2, 1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(6*a^2*f*(a
+ b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.118, size = 73, normalized size = 0.5 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({\frac{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}{ \left ({b}^{2} \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+2\,ab \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+{a}^{2} \right ) \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{3}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(f*x+e)^3/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x)

[Out]

`int/indef0`(cosh(f*x+e)^2/(b^2*sinh(f*x+e)^4+2*a*b*sinh(f*x+e)^2+a^2)/sinh(f*x+e)^3/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)
,sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (f x + e\right )^{3}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^3/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(f*x + e)^3/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.73291, size = 18669, normalized size = 130.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^3/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(3*((2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^12 + 12*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + (2*a*b^2
- 5*b^3)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 2*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3
+ 33*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^10 + 20*(11*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2*
b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e
)^8 + (495*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3 + 90*(8*a^2*b - 26*a*b^
2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(99*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 30*(8*a^2*b - 26*a*b^
2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 - 4*(16
*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(231*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 105*(8*a^2*b
- 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 16*a^3 + 64*a^2*b - 70*a*b^2 + 25*b^3 + 7*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*
b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(99*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 63*(8*a^2*b - 26*a*
b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 7*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - 3*(16*a^3 - 64*a
^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x
+ e)^4 + (495*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 420*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 70*(32*a
^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3 - 60*(16*a^3 -
64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(55*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^9 + 60*
(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 14*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^5 -
20*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f
*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*a*b^2 - 5*b^3 + 2*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(2*a*b^2
- 5*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 45*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 14*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*
b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^6 - 30*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^2*b - 26*a*b^
2 + 15*b^3 + 3*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*(2*a*b^2 - 5*
b^3)*cosh(f*x + e)^11 + 5*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^9 + 2*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 -
75*b^3)*cosh(f*x + e)^7 - 6*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 19
0*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(a)*log((b
*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(4*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*
b*cosh(f*x + e)^2 + 4*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 +
2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))*(cosh(f*x + e) + sinh(f*x + e))
+ 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (4*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(
f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e
)^3 - cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) - 4*sqrt(2)*(3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 27*(2*a^2*b - 5*
a*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + 3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*sinh(f*x + e)^9 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)
*cosh(f*x + e)^7 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2 + 27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^7 +
28*(9*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 - 2*(
56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(189*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 56*a^3 + 98*a^2*b
- 45*a*b^2 + 42*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(189*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*c
osh(f*x + e)^5 + 70*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x
+ e))*sinh(f*x + e)^4 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(63*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x +
e)^6 + 35*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b
+ 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^3 + 4*(27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 21*(8*a^3 - 26*a^2*
b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*
b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + 3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e) + (27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x +
e)^8 + 28*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^6 - 10*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 +
6*a^2*b - 15*a*b^2 + 12*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2
+ b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(a^4*b^2
*f*cosh(f*x + e)^12 + 12*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + a^4*b^2*f*sinh(f*x + e)^12 + 2*(4*a^5*b -
3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^2 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^10 +
(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^8 + 20*(11*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^3 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*
f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (495*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^4 + 90*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2
+ (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^8 - 4*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 +
8*(99*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^5 + 30*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2
)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + a^4*b^2*f + 4*(231*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^6 + 105*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*
f*cosh(f*x + e)^4 + 7*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 - (8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f)*s
inh(f*x + e)^6 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(99*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^7 + 63*(4*
a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 7*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 - 3*(8*a^6 - 12*a^
5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (495*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^8 + 420*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)
*f*cosh(f*x + e)^6 + 70*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 - 60*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)
*f*cosh(f*x + e)^2 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x
+ e)^2 + 4*(55*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^9 + 60*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 14*(16*a^6 - 32*a^5*b
+ 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 - 20*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 1
5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(33*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^10 + 45*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*co
sh(f*x + e)^8 + 14*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 - 30*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*co
sh(f*x + e)^4 + 3*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^
2 + 4*(3*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^11 + 5*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^9 + 2*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^
4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 - 6*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^
2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)), 1/6*(3*((2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f
*x + e)^12 + 12*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + (2*a*b^2 - 5*b^3)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(8*a
^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 2*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3 + 33*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x +
e)^2)*sinh(f*x + e)^10 + 20*(11*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e
))*sinh(f*x + e)^9 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + (495*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f
*x + e)^4 + 32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3 + 90*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f
*x + e)^8 + 8*(99*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 30*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (32*a
^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 - 4*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3
)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(231*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 105*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)
^4 - 16*a^3 + 64*a^2*b - 70*a*b^2 + 25*b^3 + 7*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh
(f*x + e)^6 + 8*(99*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 63*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 7*(
32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - 3*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x
+ e))*sinh(f*x + e)^5 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (495*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cos
h(f*x + e)^8 + 420*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 70*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3
)*cosh(f*x + e)^4 + 32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3 - 60*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(
f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(55*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^9 + 60*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(
f*x + e)^7 + 14*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - 20*(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 -
25*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*a*b^2
- 5*b^3 + 2*(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^10 + 45*(8*a
^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 14*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^6 - 30*
(16*a^3 - 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3 + 3*(32*a^3 - 144*a^2*b
+ 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(3*(2*a*b^2 - 5*b^3)*cosh(f*x + e)^11 + 5*(8*a^2*b
- 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e)^9 + 2*(32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^7 - 6*(16*a^3
- 64*a^2*b + 70*a*b^2 - 25*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + (32*a^3 - 144*a^2*b + 190*a*b^2 - 75*b^3)*cosh(f*x + e)^3 +
(8*a^2*b - 26*a*b^2 + 15*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(-a)*arctan(1/2*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((b*cosh
(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)
)/(a*cosh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e))) + 2*sqrt(2)*(3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 27*(2*a^2*b - 5*a*
b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + 3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*sinh(f*x + e)^9 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*c
osh(f*x + e)^7 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2 + 27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^7 + 28
*(9*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 - 2*(56
*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(189*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 56*a^3 + 98*a^2*b -
45*a*b^2 + 42*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(189*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cos
h(f*x + e)^5 + 70*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e)^4 + 4*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(63*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e
)^6 + 35*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b +
45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^3 + 4*(27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 21*(8*a^3 - 26*a^2*b
+ 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^5 - 5*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^
2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + 3*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e) + (27*(2*a^2*b - 5*a*b^2)*cosh(f*x + e
)^8 + 28*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^6 - 10*(56*a^3 - 98*a^2*b + 45*a*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 6
*a^2*b - 15*a*b^2 + 12*(8*a^3 - 26*a^2*b + 15*a*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 +
b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(a^4*b^2*f
*cosh(f*x + e)^12 + 12*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + a^4*b^2*f*sinh(f*x + e)^12 + 2*(4*a^5*b - 3*
a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^2 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^10 + (1
6*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^8 + 20*(11*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^3 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*
cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (495*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^4 + 90*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 +
(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^8 - 4*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 8*
(99*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^5 + 30*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*
f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + a^4*b^2*f + 4*(231*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^6 + 105*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*
cosh(f*x + e)^4 + 7*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 - (8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f)*sin
h(f*x + e)^6 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(99*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^7 + 63*(4*a^
5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 7*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 - 3*(8*a^6 - 12*a^5*
b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (495*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^8 + 420*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f
*cosh(f*x + e)^6 + 70*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 - 60*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f
*cosh(f*x + e)^2 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x +
e)^2 + 4*(55*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^9 + 60*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 14*(16*a^6 - 32*a^5*b +
15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 - 20*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*
a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(33*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^10 + 45*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh
(f*x + e)^8 + 14*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 - 30*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh
(f*x + e)^4 + 3*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f)*sinh(f*x + e)^2
+ 4*(3*a^4*b^2*f*cosh(f*x + e)^11 + 5*(4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^9 + 2*(16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*
b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 - 6*(8*a^6 - 12*a^5*b + 5*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + (16*a^6 - 32*a^5*b + 15*a^4*b^2)
*f*cosh(f*x + e)^3 + (4*a^5*b - 3*a^4*b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)**3/(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (f x + e\right )^{3}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(f*x+e)^3/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(coth(f*x + e)^3/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)